Question

在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G为BC的中点．
（1）求证：AB∥平面DEG；
（2）求证：BD⊥EG；
（3）求二面角C-DF-E的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要证AB∥平面DEG，可在平面DEG中找到一条直线与AB平行，根据题目给出的条件，能够证得AB∥DG；
（2）根据题目条件先证明EB、EA、EF两两相互垂直，然后以E为原点，以EB、EF、EA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，运用向量数量积等于0

BD

⊥

EG

，从而证明BD⊥EG；
（3）在（2）的基础上，求出二面角的两个半平面的法向量，利用法向量求二面角的平面角的余弦值．

解答：（1）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC，
∵BC=2AD，G为BC的中点，∴AD∥BG，且AD=BG，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DG
因为AB不在平面DEG中，DG在平面DEG内，∴AB∥平面DEG．
（2）证明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE，∵AE⊥EB，∴EB、EF、EA两两垂直．
以点E为坐标原点，EB、EF、EA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
由已知得：A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，2，2），F（0，3，0），G（2，2，0）．
∵

EG

=(2，2，0)，

BD

=(-2，2，2)，∴

BD

•

EG

=-2×2+2×2+2×0=0
∴BD⊥EG．
（3）解：由已知得

EB

=(2，0，0)是平面EFDA的法向量，设平面DCF的法向量为

n

=(x，y，z)
∵

FD

=(0，-1，2)，

FC

=(2，1，0)，∴

-y+2z=0 2x+y=0

，令z=1，得x=-1，y=2，即

n

=(-1，2，1)．
设二面角C-DF-E的大小为θ，
则cosθ=

n • EB

| n || EB |

=-

6

6

，∴sinθ=

30

6

∴二面角C-DF-E的正弦值为

30

6

．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，考查了运用平面法向量求二面角的三角函数值，解答此题的关键是正确建立空间直角坐标系，是中档题