Question

如图，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB=90°，PM∥BC，直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC=1，BC=2PM=2，∠ACB=90°．
（Ⅰ）求证：AC⊥BM；
（Ⅱ）求二面角M-AB-C的大小；
（Ⅲ）求多面体PMABC的体积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要证AC⊥BM，只要证明AC⊥平面PCBM中的两条相交直线即可．
（Ⅱ）求二面角M-AB-C的大小，用三垂线定理，作出二面角的平面角，求解即可；
也可以利用空间直角坐标系来解．
（Ⅲ）求多面体PMABC的体积，找出底面，求出底面面积，求出高，即可解答．
解答：解：（Ⅰ）∵平面PCBM⊥平面ABC，AC⊥BC，AC?平面ABC，
∴AC⊥平面PCBM．
又∵BM?平面PCBM，
∴AC⊥BM．

（Ⅱ）取BC的中点N，则CN=1．连接AN、MN．
∵平面PCBM⊥平面ABC，平面PCBM∩平面ABC=BC，PC⊥BC．
∴PC⊥平面ABC．
∵PM∥CN，∴MN∥PC，从而MN⊥平面ABC．
作NH⊥AB于H，连接MH，则由三垂线定理知AB⊥MH．
从而∠MHN为二面角M-AB-C的平面角．
∵直线AM与直线PC所成的角为60°，
∴∠AMN=60°．
在△ACN中，由勾股定理得．
在Rt△AMN中，MN=AN•cot∠AMN=．
在Rt△BNH中，NH=BN•sin∠ABC=BN•．
在Rt△MNH中，tan∠MHN=
故二面角M-AB-C的大小为．

（Ⅱ）如图以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
设P（0，0，z）（z＞0），有B（0，2，0），A（1，0，0），M（0，1，z）．，
由直线AM与直线PC所成的角为60°，得
即，解得．
∴，
设平面MAB的一个法向量为，则
由，取，得
取平面ABC的一个法向量为
则=
由图知二面角M-AB-C为锐二面角，
故二面角M-AB-C的大小为．

（Ⅲ）多面体PMABC就是四棱锥A-BCPM．
点评：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识，
考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力．