Question

【题目】如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面内的射影恰好落在边上．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）当时，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）设点在平面上的射影为点，连接，推导出，，从而平面，进而，平面，由此能证明平面平面．

（Ⅱ）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

解：（Ⅰ）设点在平面上的射影为点，连接，则平面，因为平面，

．

四边形是矩形，，平面，．

又，平面，平面，

所以平面，

而平面，

平面平面．

（Ⅱ）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设，则，，．

由（Ⅰ）知，又，，，

，，，

，，．

设平面的一个法向量为，

则，即

不妨取，则，，．

而平面的一个法向量为，

．

故二面角的余弦值为．