Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+4x的极小值为-8，其导函数y=f'（x）的图象经过点（-2，0），如右图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的递增区间
（3）若函数g（x）=f（x）-k在区间[-3，2]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）根据题意可知函数在x=-2处取极小值8
f′（x）=3ax²+2bx+4
∴
解得：a=-1，b=-2
∴f（x）=-x³-2x²+4x，
（2）令f′（x）=-3x²-4x+4＞0
解得x∈
∴函数y=f（x）在 上单调递增；
（3）∵函数g（x）=f（x）-k在区间[-3，2]上有两个不同的零点，
∴k=f（x）在区间[-3，2]上有两个不同的根
即y=k与y=f（x）的图象在区间[-3，2]上有两个不同的交点
画出函数在区间[-3，2]上的图象
结合图形可知k∈（-3，）
分析：（1）求出y=f'（x），因为导函数图象经过（-2，0），代入即可求出a、b之间的关系式，再根据f（x）极小值为-8可得f（-2）=-8，解出即可得到a、b的值；
（2）直接解不等式f′（x）=-3x²-4x+4＞0，即可求出函数f（x）的递增区间；
（3）将函数g（x）=f（x）-k在区间[-3，2]上有两个不同的零点，转化成k=f（x）在区间[-3，2]上有两个不同的根，即y=k与y=f（x）的图象在区间[-3，2]上有两个不同的交点，画出函数在区间[-3，2]上的图象，即可求出实数k的取值范围．
点评：考查学生会用待定系数法求函数的解析式，会利用导数求函数极值，以及函数与方程的思想，属于中档题．