Question

9．设x₁，x₂，x₃是3个互不相等的实数，若x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁=-24，且x₁+x₂+x₃=-3，则x₁x₂x₃的取值范围是（-28，80）．

Answer 1

分析 设x₁x₂x₃=t，构造x₁，x₂，x₃是方程x³+3x²-24x-t=0的互不相等的实数根，设f（x）=x³+3x²-24x-t，求出导数，求得单调区间和极值，由极小值小于0，极大值大于0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：设x₁x₂x₃=t，由x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁=-24，且x₁+x₂+x₃=-3，
可得x₁，x₂，x₃是方程x³+3x²-24x-t=0的互不相等的实数根，
设f（x）=x³+3x²-24x-t，导数为f′（x）=3x²+6x-24=3（x+4）（x-2），
当x＞2或x＜-4时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当-4＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）递减．
可得x=-4取得极大值，x=2处取得极小值．
由函数的图象与x轴有三个交点，可得f（-4）＞0，且f（2）＜0，
即有80-t＞0，且-28-t＜0，
解得-28＜t＜80．
故答案为：（-28，80）．

点评 本题考查取值范围的求法，注意运用构造方程法，结合导数的运用：求极值，考查运算能力，属于中档题．