Question

已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分V_P-DCMA：V_M-ACB=2：1．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据平面与平面垂直的性质定理可知DC⊥平面PAD，又DC?面PCD，再根据平面与平面垂直的判定定理可知平面PAD⊥平面PCD；
（II）由（I）知PA⊥平面ABCD，根据平面与平面垂直的判定定理可知平面PAB⊥平面ABCD，在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，最后根据V_PDCMA：V_MACB=2：1建立等式关系，可求出点M的位置．
解答：（I）证明：依题意知：CD⊥AD．又∵面PAD⊥面ABCD
∴DC⊥平面PAD．
又DC?面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD；
（II）解：由（I）知PA⊥平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD．在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，
设MN=h，则

要使V_PDCMA：V_MACB=2：1，即，解得h=
（或V_P-ABCD=3V_M-ABC）即M为PB的中点．
点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及棱柱体积的度量，同时考查了推理论证的能力和计算能力，属于基础题．