Question

（理科）关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是

a≤1

．

Answer 1

分析：首先，对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，然后在二次项系数不为0时，分两根一正一负和两根均为负值两种情况，最后将两种情况综合在一起找到a所满足的条件a≤1，再利用上述过程可逆，就可以下结论充要条件是a≤1．

解答：解：①a≠0时，显然方程没有等于零的根．
若方程有两异号实根，则a＜0；
若方程有两个负的实根，
则必有

1 a ＞0 - 2 a ＜0 △=4-4a≥0

⇒0＜a≤1．
②若a=0时，可得x=-

1

2

也适合题意．
综上知，若方程至少有一个负实根，则a≤1．
反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，
因此，关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一负的实根的充要条件是a≤1．
故答案为：a≤1

点评：本题主要考查一个一元二次根的分布问题，属于中档题．在二次项系数不确定的情况下，注意一定要分二次项系数分为0和不为0两种情况讨论．