Question

对于每项均是正整数的数列A：a₁，a₂，…，a_n，定义变换T₁，T₁将数列A变换成数列T₁(A)：n，a₁－1，a₂－1，…，a_n－1．

对于每项均是非负整数的数列B：b₁，b₂，…，b_m，定义变换T₂，T₂将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T₂(B)；

又定义．

设A₀是每项均为正整数的有穷数列，令A_k+1＝T₂(T₁(A_k))(k＝0，1，2，…)．

(Ⅰ)如果数列A₀为5，3，2，写出数列A₁，A₂；

(Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S(T₁(A))＝S(A)；

(Ⅲ)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A₀，存在正整数K，当k≥K时，S(A_k+1)＝S(A_k)．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：， 　　， 　　； 　　， 　　． 　　(Ⅱ)证明：设每项均是正整数的有穷数列为， 　　则为，，，，， 　　从而 　　． 　　又， 　　所以 　　 　　， 　　故． 　　(Ⅲ)证明：设是每项均为非负整数的数列． 　　当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列， 　　则． 　　当存在，使得时，若记数列为， 　　则． 　　所以． 　　从而对于任意给定的数列，由 　　可知． 　　又由(Ⅱ)可知，所以． 　　即对于，要么有，要么有． 　　因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有． 　　即存在正整数，当时，．