Question

（2012•吉安二模）已知数列{a_n}是等差数列，a₁=1，a₁+a₂+a₃+…+a₁₀=100．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的通项bn=1+

1

an

，记T_n是数列{b_n}的前n项之积，即T_n=b₁•b₂•b₃…b_n，试证明：T_n＞

an+1

．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的求和公式，确定数列的公差，即可求得数列的通项；
（2）利用数学归纳法进行证明，关键是第二步要利用归纳假设．

解答：（1）解：∵a₁=1，a₁+a₂+a₃+…+a₁₀=100，
∴10+45d=100，
∴d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1；
（2）证明：bn=1+

1

an

=1+

1

2n-1

，
T_n=b₁•b₂•b₃…b_n=（1+

1

1

）•（1+

1

3

）…（1+

1

2n-1

），
①当n=1时，2＞

3

成立；
②假设当n=k（k≥1，k∈N₊）时，命题成立，即（1+

1

1

）•（1+

1

3

）…（1+

1

2k-1

）＞

2k+1

成立，
当n=k+1时，T_k+1=（1+

1

1

）•（1+

1

3

）…（1+

1

2k-1

）（1+

1

2k+1

）＞

2k+1

(1+

1

2k+1

)=

2k+2

2k+1

∵

2k+1

×

2k+3

＜

(2k+1)+(2k+3)

2

=2k+2
∴

2k+2

2k+1

＞

2k+3

∴T_k+1＞

2k+3

即n=k+1时，命题成立
综上，T_n＞

an+1

．

点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查不等式的证明，解题的关键是掌握数学归纳法的证题步骤．