Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）求a的取值范围，使xf（x）＞0在定义域上恒成立．

Answer 1

分析 （1）要使函数有意义，只需a^x-1≠0；
（2）利用函数奇偶性的定义即可判断；
（3）问题等价于f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，对不等式化简可求；

解答 解：（1）由a^x-1≠0，解得x≠0，
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，
（2）f（-x）=$\frac{1}{{a}^{-x}-1}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{x}}{1-{a}^{x}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{x}-1+1}{1-{a}^{x}}$+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{{a}^{x}-1}$-$\frac{1}{2}$=-（$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数，
（3）∵f（x）为奇函数，
∴xf（x）为偶函数，
∴xf（x）＞0在定义域上恒成立问题等价于f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即$\frac{1}{{a}^{x}-1}$$+\frac{1}{2}$＞0恒成立，
亦即$\frac{{a}^{x}+1}{2（{a}^{x}-1）}$＞0，所以a^x-1＞0即a^x＞1在（0，+∞）上恒成立，
所以a＞1，故实数a的取值范围是（1，+∞）．

点评 本题考查函数奇偶性、单调性的判断及其应用，考查恒成立问题，考查转化思想，属中档题．