Question

【题目】已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2 （Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为（﹣ ，1），求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）g′（x）=3x2+2ax﹣1 由题意3x2+2ax﹣1＜0的解集是（﹣ ，1），即3x2+2ax﹣1=0的两根分别是﹣ ，1
将x=1或﹣ 代入方程3x2+2ax﹣1=0得a=﹣1，
∴g（x）=x3﹣x2﹣x+2
（Ⅱ）由题意知，2xlnx≤3x2+2ax﹣1+2在x∈（0，+∞）上恒成立
即a≥lnx﹣ ，
设h（x）=lnx﹣ ，则
令h′（x）=0，得x=1，x=﹣ （舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2，．
∴a≥﹣2，即a的取值范围是[﹣2，+∞）
【解析】（Ⅰ）根据函数的单调区间可知﹣ ，1是导函数所对应方程的两个根，从而可求出a的值；（Ⅱ）2xlnx≤3x2+2ax﹣1+2在x∈（0，+∞）上恒成立将a分离可得a≥lnx﹣ ，设h（x）=lnx﹣ ，利用导数研究h（x）的最大值，可求出a的取值范围．
【考点精析】掌握基本求导法则和利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．