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    某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为
    1
    8
    的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过
    1
    2
    ，且他直到参加第二次考核才合格的概率为
    9
    32
    ．
    （1）求小李第一次参加考核就合格的概率p．；
    （2）求小李参加考核的次数ξ的分布列和数学期望Eξ．
    分析：（1）根据题意写出关于概率的方程，解方程即可得到要求的结果，根据条件中对于概率的要求，舍去不合题意的．
    （2）根据题意得到变量的可能取值，由（1）的结论知，小李四次考核每次合格的概率依次为
    5
    8
    ，
    3
    4
    ，
    7
    8
    ，1    ，结合变量对应的事件写出分布列和期望．
    解答：解：（1）由题意，得(1-p1)(p1+
    1
    8
    )=
    9
    32
    ，p1=
    1
    4
    或
    5
    8
    ．
    因为p1＞
    1
    2
    ，所以p1=
    5
    8
    ，即小李第一次参加考核就合格的概率p1=
    5
    8
    ．                
    （2）由（1）的结论知，小李四次考核每次合格的概率依次为
    5
    8
    ，
    3
    4
    ，
    7
    8
    ，1    ，
    所以，P(ξ=1)=
    5
    8
    ，P(ξ=2)=
    9
    32
    ，P(ξ=3)=(1-
    5
    8
    )(1-
    3
    4
    )×
    7
    8
    =
    21
    256
    P(ξ=4)=(1-
    5
    8
    )(1-
    3
    4
    )(1-
    7
    8
    )×1=
    3
    256

    所求分布列为：
    ξ 1 2 3 4
    P
    5
    8
    9
    32
    21
    256
    3
    256
    由上可知，Eξ=1×
    5
    8
    +2×
    9
    32
    +3×
    21
    256
    +4×
    3
    256
    =
    379
    256
    点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是在第一问做出要用的概率，本题是一个必出现在高考卷中的题目类型．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为
    1
    8
    的等差数列，他参加第一次考核合格的概率不超过
    1
    2
    ，且他直到第二次考核才合格的概率为
    9
    32
    ．
    （1）求小李第一次参加考核就合格的概率P1；
    （2）求小李参加考核的次数ξ的数学期望．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    随着现代社会的发展，拥有汽车的家庭越来越多，交通安全显得尤为重要，考取汽车驾驶执照要求也越来越高．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格，不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若小明参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为
    1
    7
    的等差数列，且他参加第一次考核合格的概率大于
    1
    2
    ，他直到参加第二次考核才合格的概率为
    15
    49
    ．（1）求小明参加第一次考核就合格的概率；（2）求小明参加考核的次数ξ的分布列和数学期望．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核，若小张参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为
    1
    8
    的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过
    1
    2
    ，且他直到参加第二次考核才合格的概率为
    9
    32

    （I）求小张第一次参加考核就合格的概率P1；
    （II）求小张参加考核至多3次就合格的概率．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：学员必须按顺序从第一次开始参加考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若学员小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为
    1
    8
    的等差数列，他参加第一次考核合格的概率不超过
    1
    2
    ，且他直到参加第二次考核才合格的概率为
    9
    32
    ．
    （1）求小李第一次参加考核就合格的概率P1；
    （2）小李第四次参加考核的概率．

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