Question

【题目】设点为椭圆的左焦点，直线被椭圆截得弦长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）圆与椭圆交于两点， 为线段上任意一点，直线交椭圆于两点为圆的直径，且直线的斜率大于，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）首先直线方程和椭圆方程联立，然后根据对称可知，弦长为 ，最后代入联立的结果，可得 ；（2）首先设 ， 根据点差法，以及中点坐标公式，得到 ,并且得到直线的方程，联立椭圆方程得到点 的坐标，并且得到直线的斜率，设，联立椭圆方程，得到根与系数的关系，并且代入 ,表示为的函数求值域.

试题解析：（1）由，得，故，解得，

故椭圆的方程为．

（2）设，则，又，

所以，则，故，

则直线的方程为，即，代入椭圆的方程并整理得，

则，故直线的斜率，

设，由，得，

设，则有，

又，

所以

，

因为，所以，

即的取值范围是．