Question

【题目】已知函数f（x）=axlnx+bx（a≠0）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，（e=2.71828）
（1）试讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）①设g（x）=x+ ，x∈（0，+∞），求g（x）的最小值； ②证明： ≥1﹣x．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）=alnx+a+b，

∴f′（1）=a+b=0，故b=﹣a，

∴f（x）=axlnx﹣ax，且f′（x）=alnx，

当a＞0时，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞00，

∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；

a＜0时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；

（2）解：①解：∵g（x）=x+ ，x∈（0，+∞），

∴g′（x）=1﹣e1﹣x= ，

x∈（0，1）时，g′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，

故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，

故g（x）min=g（1）=2；

②证明：由（1）得：f（x）=axlnx﹣ax，

由 ≥1﹣x，得：xlnx﹣x+ +x﹣1≥0，

即（xlnx﹣1）（xex﹣1+1）+2≥0

（xlnx+1）xex﹣1+xlnx+1≥2xex﹣1

（xlnx+1）（xex﹣1+1）≥2xex﹣1，

即（lnx+ ）（x+e1﹣x）≥2，

设h（x）=lnx+ ，h′（x）= ，

故h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，

故h（x）≥h（1）=1，

又g（x）在（0，+∞）时，g（x）≥2，

故（lnx+ ）（x+e1﹣x）≥2成立，

即 ≥1﹣x成立．

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（2）①求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；②问题转化为（xlnx﹣1）（xex﹣1+1）+2≥0，即（lnx+ ）（x+e1﹣x）≥2，设h（x）=lnx+ ，根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．