Question

【题目】椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，其左焦点到点P（2，1）的距离为 ． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为 ，∴ ，解得c=1． 又 ，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3．
∴所求椭圆C的方程为： ．
（Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由 得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，
△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2＞m2 ．
∴ ， ．
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）= = ．
∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），kADkBD=﹣1，∴ ，
∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴ ．
化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=﹣2k， ．
， 且满足3+4k2﹣m2＞0．
当m=﹣2k时，l：y=k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；
当m=﹣ 时，l：y=k ，直线过定点 ．
综上可知，直线l过定点，定点坐标为
【解析】（Ⅰ）利用两点间的距离公式可得c，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a，b；（Ⅱ）把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D，可得kADkBD=﹣1，即可得出m与k的关系，从而得出答案．