Question

已知向量

a

=（tanx，1），

b

=（sinx，cosx），其中x∈[0，

π

3

]，f(x)=

a

•

b

．
（I）求函数f（x）的解析式及最大值；
（II）若f(x)=

5

4

，求2sin(

π

4

-x)•cos(

π

4

+x)-1的值．

Answer 1

分析：（I）利用向量的坐标和向量积的运算，化简整理求得函数f（x）的解析式．利用余弦函数的性质可在x=

π

3

时函数有最大值．
（II）利用f(x)=

5

4

求得cosx的值，进而利用同角三角函数基本关系求得sinx的值，利用诱导公式和二倍角公式对原式化简整理，把sinx和cosx的值代入即可．

解答：解：（I）∵

a

=（tanx，1），

b

=（sinx，cosx），
∴f（x）=

a

•

b

=tanx•sinx+cosx=

1

cosx

．
∵x∈[0，

π

3

]，∴当x=

π

3

时，f（x）的最大值为f(

π

3

)=

1

cos π 3

=2．
（II）∵f(x)=

5

4

，∴

1

cosx

=

5

4

，则cosx=

4

5

．
∵x∈[0，

π

3

]，∴sinx=

3

5

．
2sin(

π

4

-x)•cos(

π

4

+x)-1=2cos2(

π

4

+x)-1=cos(2x+

π

2

)=-sin2x=-2sinxcosx=-

24

25

．

点评：本题主要考查了三角函数的最值，同角三角函数基本关系的应用，诱导公式和二倍角公式的化简求值．综合考查了学生基础知识运用．