Question

18．已知函数f（x）=x²+ax+1，a为实数．
（1）解不等式f（x）＞0，
（2）当x＞0时，不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据判别式分类讨论求出不等式的解集，
（2）分离参数，根据基本不等式即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）△=a²-4，
①当△＞0，即a＞2或a＜-2时，不等式的解集为（-∞，$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$）∪（$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，+∞），
②当△=0，即a=2或-2时，
当a=2时，不等式的解集为（-∞，-1）∪（-1，+∞）；
当a=-2时，不等式的解集为（-∞，1）∪（1，+∞）；
③当△＜0，即当-2＜a＜2时，解集为R．
综上，①当a＞2或a＜-2时，不等式的解集为（-∞，$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$）∪（$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，+∞）；
②当a=2时，不等式的解集为（-∞，-1）∪（-1，+∞）；
③当a=-2时，不等式的解集为（-∞，1）∪（1，+∞）；
④当-2＜a＜2时，解集为R．
（2）当x＞0时，由x²+ax+1≥0得a≥-（x+$\frac{1}{x}$）=-2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=-2，当且仅当x=1时取等号．
故a的取值范围为[-2，+∞）

点评 本题考查了一元二次不等式的解法和基本不等式的应用，属于中档题．