Question

是否存在常数a,b使等式对于一切n∈N*都成立？若存在，求出a,b的值，若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

详见解析.

【解析】

试题分析：先假设存在符合题意的常数a，b，c，再令n=1，n=2，n=3构造三个方程求出a，b，c，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，递推到n=k+1时，成立即可．

试题解析：【解析】
若存在常数a，b使得等式成立，将n＝1，n＝2代入等式

有：

即有： 4分

对于n为所有正整数是否成立，再用数学归纳法证明

证明：（1）当n＝1时，等式成立。 5分

（2）假设n＝k时等式成立，即

7分

当n＝k＋1时，即

11分

也就是说n＝k＋1时，等式成立，

则：

∴＝60?

故：MD与平面OAC所成角为30? 8分

（3）设平面OBD的法向量为＝(x，y，z)，则

取＝(2，2，1)

则点A到平面OBD的距离为d＝ 12分

方法二：（1）由OA⊥底面ABCD，OA⊥BD。

∵底面ABCD是边长为1的正方形

∴BD⊥AC ∴BD⊥平面OAC 4分

（2）设AC与BD交于点E，连结EM，则∠DME是直线MD与平面OAC折成的角

∵MD＝，DE＝

∴直线MD与平面OAC折成的角为30? 8分

（3）作AH⊥OE于点H。

∵BD⊥平面OAC

∴BO⊥AH

线段AH的长就是点A到平面OBD的距离。

∴AH＝

∴点A到平面OBD的距离为 12分

考点：1. 线面垂直的的判断定理；2.线面成角.