Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD，垂足为M．
（Ⅰ）求证：AM⊥PD；
（Ⅱ）求三棱锥B-AMC的体积；
（III）已知点N在AC上，当N 点在什么位置时，使得MN∥平面PBC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证AM⊥PD，只要证明PD⊥平面AMB 即可，因为已知BM⊥PD，所以只要证明PD⊥AB即可，为此需要证明AB⊥平面PAD，由已知条件可以得出；
（Ⅱ）要计算三棱锥B-AMC的体积，只要求出把△BAC作为底面时的高即可，只要作MH⊥AD，则可以证明MH⊥底面ABCD；
（Ⅲ）点N在AC上，使得MN∥平面PBC，只要理解对角线BD与AC相较于一点N，利用三角形的中位线可以证出．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．
又∵BA⊥AD，AD∩PA=A，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD．
∵BM⊥PD，AB∩BM=B，
∴PD⊥平面ABM．
∴PD⊥AM．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：AM⊥PD．
∵在△PAD中，AP=AD=2，∴M是PD的中点．
过点M作MH⊥AD，则MH⊥底面ABCD，且MH=

1

2

AP=1．
∴V_{三棱锥B-AMC}=

1

3

×S△ABC×MH=

1

3

×

1

2

×2×1×1=

1

3

．
（Ⅲ）连接BD，交AC于点N，当点N为对角线AC与BD的交点时，满足MN∥平面PBC．
证明：∵PM=MD，BN=ND，∴MN∥PB．
又MN?平面PBC，PB?平面PBC，
∴MN∥平面PBC．

点评：熟练掌握线面平行与垂直的判定定理和性质定理是解题的关键．