Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：
①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x-1）=f（-x-1）恒成立；
②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立．
（I）求f（1）的值；
（Ⅱ）求f（x）的解析式；
（Ⅲ）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x成立．

Answer 1

分析：（1）由当x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立可得f（1）=1；
（2）由f（-1+x）=f（-1-x）可得二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=-1，于是b=2a，再由f（x）_min=f（-1）=0，可得c=a，从而可求得函数f（x）的解析式；
（3）可由f（1+t）≤1，求得：-4≤t≤0，再利用平移的知识求得最大的实数m．

解答：解：（1）∵x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立，
∴1≤f（1）≤2|1-1|+1=1，
∴f（1）=1；
（2）∵f（-1+x）=f（-1-x），
∴f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=-1，
∴-

b

2a

=-1，b=2a．
∵当x∈R时，函数的最小值为0，
∴a＞0，f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=-1，
∴f（x）_min=f（-1）=0，
∴a=c．
∴f（x）=ax²+2ax+a．又f（1）=1，
∴a=c=

1

4

，b=

1

2

．
∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

=

1

4

（x+1）²．
（3）∵当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x成立，
∴f（1+t）≤1，即

1

4

（1+t+1）²≤1，解得：-4≤t≤0．
而y=f（x+t）=f[x-（-t）]是函数y=f（x）向右平移（-t）个单位得到的，
显然，f（x）向右平移的越多，直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标越大，
∴当t=-4，-t=4时直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标最大．
∴

1

4

（m+1-4）²≤m，
∴1≤m≤9，
∴m_max=9．

点评：本题考查二次函数的性质，难点在于（3）中m的确定，着重考查二次函数的性质与函数图象的平移，属于难题．