Question

12．已知函数f（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数的单调性．

Answer 1

分析 （1）首先，求解该函数定义域，然后，根据奇函数的定义判断其奇偶性；
（2）直接结合函数的单调性确定其单调性即可．

解答 解：（1）该函数为奇函数，证明如下：
∵$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x＞0，
∴$\sqrt{{x}^{2}+1}$＞x，
∴x∈R，
∴该函数的定义域为（-∞，+∞），
∵f（-x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x），
=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）
=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）^-1，
=-lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）
=-f（x），
∴f（-x）=-f（x），
∴该函数为奇函数．
（2）该函数为减函数，证明如下：
任意设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）
=lg（$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}-{x}_{1}$）-lg（$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}-{x}_{2}$）
=lg$\frac{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}-{x}_{1}}{\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}-{x}_{2}}$
=lg$\frac{\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}+{x}_{2}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+{x}_{1}}$，
∵0＜$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+{x}_{1}＜\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}+{x}_{2}$，
∴lg$\frac{\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}+{x}_{2}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+{x}_{1}}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴该函数为减函数．

点评 本题重点考查了函数的定义域、函数的奇偶性、单调性的判断和证明方法，考查了对数的运算性质等知识，属于中档题．