Question

对于三次函数，定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：
①任意三次函数都关于点对称：
②存在三次函数有实数解，点为函数的对称中心；
③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；
④若函数，则，
其中正确命题的序号为                  (把所有正确命题的序号都填上）.

Answer 1

①②④

解析试题分析：∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），∴f′（x）=3ax²+2bx+c，f''（x）=6ax+2b，
∵f^″(x)=6a×(-)+2b=0，∴任意三次函数都关于点（-，f（-））对称，即①正确；
∵任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，
∴存在三次函数f′（x）=0有实数解x₀，点（x₀，f（x₀））为y=f（x）的对称中心，即②正确；
任何三次函数都有且只有一个对称中心，故③不正确；
∵，∴g′（x）=x²-x，g''（x）=2x-1，
令g''（x）=2x-1=0，得x=，∵g（）=³-×()²-=-，
∴函数的对称中心是（，-），
∴g（x）+（g（1-x）=-1，
∴，故④正确．
故答案为：①②④．
考点：应用导数研究函数的性质
点评：中档题，本题综合性较强，研究函数的图象和性质。利用导数研究函数的单调性，是常用方法。