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(2013•深圳二模)已知数列{an},{bn} 满足:a1=0,b1=2013,且对任意的正整数 n,an,an+1,bn 和 an+1,bn+1,bn均成等差数列.
(1)求 a2,b2的值;
(2)证明:{an-bn}和{an+2bn} 均成等比数列;
(3)是否存在唯一的正整数 c,使得 an<c<bn恒成立?证明你的结论.
分析:(1)利用等差中项公式即可求得a2,b2
(2)由an,an+1,bn 和 an+1,bn+1,bn均成等差数列,得
an+1=
an+bn
2
bn+1=
an+1+bn
2
an+1=
1
2
an+
1
2
bn…①
bn+1=
1
4
an+
3
4
bn…②
,只证
an+1-bn+1
an-bn
为常数即可,把①②代入该式即可证得;同理把①②代入
an+1+2bn+1
an+2bn
可证得为常数,注意验证其首项不为0;
(3)由(2)得
an+2bn=4026
an-bn=-
2013
4n-1
,解得
an=1342-
1342
4n-1
bn=1342+
671
4n-1
,易判断{an}是单调递增数列,{bn}是单调递减数列,且an<1342<bn,n∈N*,再证明对任意的n∈N*且n≥7时,1341<an<1342<bn<1343即可说明c的唯一性.
解答:解:(1)因为an,an+1,bn 和 an+1,bn+1,bn均成等差数列,
所以a2=
a1+b1
2
=
2013
2
b2=
a2+b1
2
=
6039
4

(2)依题意,对任意的正整数n,有
an+1=
an+bn
2
bn+1=
an+1+bn
2
an+1=
1
2
an+
1
2
bn…①
bn+1=
1
4
an+
3
4
bn…②

因为
an+1-bn+1
an-bn
=
(
1
2
an+
1
2
bn)-(
1
4
an+
3
4
bn)
an-bn
=
1
4
(常数),n∈N*
又a1-b1=-2013≠0,
所以{an-bn}是首项为-2013,公比为
1
4
的等比数列;
因为
an+1+2bn+1
an+2bn
=
(
1
2
an+
1
2
bn)+2(
1
4
an+
3
4
bn)
an+2bn
=1(常数),n∈N*
又a1+2b1=4026≠0,
所以{an+2bn}是首项为4026,公比为1的等比数列.
(3)由(2)得,
an+2bn=4026
an-bn=-
2013
4n-1
,解之,得
an=1342-
1342
4n-1
bn=1342+
671
4n-1

显然,{an}是单调递增数列,{bn}是单调递减数列,且an<1342<bn,n∈N*,即存在正整数c=1342,使得对任意的n∈N*,有an<1342<bn
又令
1342
4n-1
<1
671
4n-1
<1
,得22n-2>1342,而210=1024,212=4096,所以2n-2≥12,n≥7,即对任意的n∈N*且n≥7时,1341<an<1342<bn<1343.
所以正整数c=1342也是唯一的.
综上所述,存在唯一的正整数c=1342,使得对任意的正整数 c,使得 an<c<bn恒成立.
点评:本题考查等差数列、等比数列的综合,考查利用递推公式推导数列的通项公式,考查学生分析问题解决问题的能力,本题综合性较强,难度较大.
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