Question

15．扇形的面积S一定，问它的中心角α取何值时，扇形的周长C最小，并求最小值．

Answer 1

分析 设扇形的半径为r，弧长为l，利用扇形的面积，表示出周长关系，利用二次函数求出周长的最小值，以及圆心角的大小．

解答 解：设扇形的半径为r，弧长为l，扇形的中心角弧度为θ，
∴l=rθ，∴S=$\frac{1}{2}$lr=$\frac{1}{2}$r²θ，r=$\frac{2S}{l}$，
扇形的周长C=l+2r=l+$\frac{4S}{l}$≥2$\sqrt{l×\frac{4S}{l}}$=4$\sqrt{S}$．当且仅当l=$\frac{4S}{l}$时取等号，此时l=2$\sqrt{S}$，
又l=rθ，θ=$\frac{l}{r}$=$\frac{{l}^{2}}{2S}$=2．
∴扇形的中心角弧度为2时，扇形的周长最小为4$\sqrt{S}$．

点评 本题是基础题，考查扇形的周长，半径圆心角，面积之间的关系，考查计算能力．