设椭圆+
=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为
,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若·
+
·
=8,求k的值.
(1) +
=1 (2) k=±
解析解:(1)设F(-c,0),由=
,知a=
c.
过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,
代入椭圆方程有+
=1,
解得y=±,
于是=
,解得b=
,
又a2-c2=b2,从而a=,c=1,
所以椭圆的方程为+
=1.
(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),
由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1).
由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0,
则x1+x2=-,x1x2=
.
因为A(-,0),B(
,0),
所以·
+
·
=(x1+
,y1)·(
-x2,-y2)+(x2+
,y2)·(
-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)
=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+.
由已知得6+=8,解得k=±
.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为
,且过点A(0,1).
(1)求椭圆的方程;
(2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点M、N,求证:直线MN恒过定点P.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知点D(0,-2),过点D作抛物线:
的切线l,切点A在第二象限。
(1)求切点A的纵坐标;
(2)若离心率为的椭圆
恰好经过A点,设切线l交椭圆的另一点为B,若设切线l,直线OA,OB的斜率为k,
,①试用斜率k表示
②当
取得最大值时求此时椭圆的方程。
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已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E(1,).过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若P为线段AB的中点,求k1;
(3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.
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设抛物线的焦点为
,点
,线段
的中点在抛物线上. 设动直线
与抛物线相切于点
,且与抛物线的准线相交于点
,以
为直径的圆记为圆
.
(1)求的值;
(2)证明:圆与
轴必有公共点;
(3)在坐标平面上是否存在定点,使得圆
恒过点
?若存在,求出
的坐标;若不存在,说明理由.
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已知圆的圆心在坐标原点O,且恰好与直线
相切.
(1)求圆的标准方程;
(2)设点A为圆上一动点,AN轴于N,若动点Q满足
(其中m为非零常数),试求动点
的轨迹方程
.
(3)在(2)的结论下,当时,得到动点Q的轨迹曲线C,与
垂直的直线
与曲线C交于 B、D两点,求
面积的最大值.
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如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上.
(1)求抛物线E的方程;
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.
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已知双曲线的中心为原点
,左、右焦点分别为
、
,离心率为
,点
是直线
上任意一点,点
在双曲线
上,且满足
.
(1)求实数的值;
(2)证明:直线与直线
的斜率之积是定值;
(3)若点的纵坐标为
,过点
作动直线
与双曲线右支交于不同的两点
、
,在线段
上去异于点
、
的点
,满足
,证明点
恒在一条定直线上.
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