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已知抛物线C1:y2=4ax(a>0),椭圆C以原点为中心,以抛物线C1的焦点为右焦点,且长轴与短轴之比为
2
,过抛物线C1的焦点F作倾斜角为
π
4
的直线l,交椭圆C于一点P(点P在x轴上方),交抛物线C1于一点Q(点Q在x轴下方).
(1)求点P和Q的坐标;
(2)将点Q沿直线l向上移动到点Q′,使|QQ′|=4a,求过P和Q′且中心在原点,对称轴是坐标轴的双曲线的方程.
分析:(1)设椭圆方程,进而根据题意求得a和m,a和n的关系,进而根据椭圆方程与直线l联立求得交点坐标.
(2)将Q点沿直线l向上移动到Q′点,使|QQ′|=4a,则可求出Q′点的坐标,设双曲线方程,把P,Q′代入双曲线方程,求得s和r,进而双曲线方程可得.
解答:解:(1)由题意可知F(a,0),设椭圆方程为
x2
m2
+
y2
n2
=1(m>n>0).
m
n
=
2
,m2-n2=a2
解得m2=2a2,n2=a2
∴椭圆方程为
x2
2a2
+
y2
a2
=1,直线l:y=x-a.
可求出P(
4
3
a,
1
3
a).
y=x-a,
可求出Q((3-2
2
)a,(2-2
2
)a.
(2)将Q点沿直线l向上移动到Q′点,
使|QQ′|=4a,则可求出Q′点的坐标为(3a,2a).
设双曲线方程为
x2
s
-
y2
r
=1(s•r>0).
由于P、Q′在双曲线上,则有
(3a)2
s
-
(2a)2
r
=1,
(
4
3
a)
2
s
-
(
1
3
a)
2
r
=1.
解得
1
s
=
7
11a2
1
r
=
13
11a2

∴双曲线方程为
7
11a2
x2-
13
11a2
y2=1.
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了学生对圆锥曲线基本知识的综合掌握.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C1:y2=4mx(m>0)的焦点为F2,其准线与x轴交于点F1,以F1,F2为焦点,离心率为
12
的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的一个交点为P.
(1)当m=1时,求椭圆的标准方程及其右准线的方程;
(2)用m表示P点的坐标;
(3)是否存在实数m,使得△PF1F2的边长是连续的自然数,若存在,求出这样的实数m;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C1:y2=x+7,圆C2:x2+y2=5.
(1)求证抛物线与圆没有公共点;
(2)过点P(a,0)作与x轴不垂直的直线l交C1,C2依次为A、B、C、D,若|AB|=|CD|,求实数a的变化范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•河北模拟)已知抛物线C1:y2=2px和圆C2(x-
p
2
)
2
+y2=
p2
4
,其中p>0,直线l经过C1的焦点,依次交C1,C2于A,B,C,D四点,则
AB
CD
的值为
p2
4
p2
4

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点F以及椭圆C2
y2
a2
+
y2
b2
=1,(a>b>0)
的上、下焦点及左、右顶点均在圆O:x2+y2=1上.
(Ⅰ)求抛物线C1和椭圆C2的标准方程;
(Ⅱ)过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点,交y轴于点N,已知
NA
=λ1
AF
, 
NB
 =λ2
BF
,求证:λ12为定值.
(Ⅲ)直线l交椭圆C2于P、Q两不同点,P、Q在x轴的射影分别为P'、Q',
OP
OQ
+
OP′
OQ′
 +1=0
,若点S满足:
OS
OP
 +
OQ
,证明:点S在椭圆C2上.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知抛物线C1:y2=4x,圆C2:(x-1)2+y2=1,过抛物线焦点F的直线l交C1于A,D两点(点A在x轴上方),直线l交C2于B,C两点(点B在x轴上方).
(Ⅰ)求|AB|•|CD|的值;
(Ⅱ)设直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为m、n、p、q,且满足m+n+p+q=3
2
,并且|AB|,|BC|,|CD|成等差数列,求出所有满足条件的直线l的方程.

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