Question

已知E，F分别为正方体ABCD-A₁B₁C₁D的棱AB，AA₁上的点，且AE=

1

2

AB，AF=

1

3

AA₁，M，N分别为线段D₁E和线段C₁F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有（　　）

• A、1条
• B、3条
• C、6条
• D、无数条

Answer 1

考点：直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：取BH=

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3

BB₁，连接FH，在D₁E上任取一点M，过M在面D₁HE中，作MG平行于HO，其中O满足线段OE=

1

3

D₁E，再过G作GN∥FH，交C₁F于N，连接MN，根据线面平行的判定定理，得到GM∥平面ABCD，NG∥平面ABCD，再根据面面平行的判断定理得到平面MNG∥平面ABCD，由面面平行的性质得到则MN∥平面ABCD，由于M是任意的，故MN有无数条．

解答： 解：取BH=

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3

BB₁，连接FH，则FH∥C₁D
连接HE，在D₁E上任取一点M，
过M在面D₁HE中，作MG∥HO，交D₁H于G，
其中O为线段OE=

1

3

D₁E
再过G作GN∥FH，交C₁F于N，连接MN，
由于GM∥HO，HO∥KB，KB?平面ABCD，
GM?平面ABCD，
所以GM∥平面ABCD，
同理由NG∥FH，可推得NG∥平面ABCD，
由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，
则MN∥平面ABCD．
由于M为D₁E上任一点，故这样的直线MN有无数条．
故选D．

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是直线与平面平行的判断和面面平行的判定与性质，考查空间想象能力和简单推理能力．