Question

【题目】(导学号：05856287)

已知点A(0,1)与B(， )都在椭圆C： (a＞b＞0)上，直线AB交x轴于点M.

(Ⅰ)求椭圆C的方程，并求点M的坐标；

(Ⅱ)设O为原点，点D与点B关于x轴对称，直线AD交x轴于点N.问：y轴上是否存在点E，使得∠OEM＝∠ONE？若存在，求点E的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ＋y2＝1. 点M(，0) (2) 在y轴上存在点E，使得∠OEM＝∠ONE，且点E的坐标为(0,2)或(0，－2).

【解析】试题分析：（1）由点A(0,1)与B(， )都在椭圆C： （a＞b＞0）上，利用待定系数法能求出椭圆C的方程和直线AB的方程，由此能求出点M的坐标．

（2）由已知求出D（，﹣），直线AD：3x+2y﹣2=0，从而求出N（，0），设E（0，y0），由∠OEM=∠ONE，得到||=||，从而求出y轴上是否存在点E（±2，0），使得∠OEM=∠ONE．

试题解析：

(Ⅰ)由题意得∴

故椭圆C的方程为＋y2＝1.

直线AB方程为y＝－x＋1，与x轴交于点M(2，0).

(Ⅱ)因为点D与点B关于x轴对称，

所以D(，－)，

直线AD方程为y＝－x＋1，

与x轴交点N(，0)．

“存在点E(0，yE)使得∠OEM＝∠ONE”等价于“存在点E(0，yE)使得＝”，

即yE满足y＝|xM||xN|.

∴y＝2×＝4，∴yE＝±2，

故在y轴上存在点E，使得∠OEM＝∠ONE，且点E的坐标为(0,2)或(0，－2).