Question

已知方程ax²+bx-1=0（a，b∈R且a＞0）有两个实数根，其中一个根在区间（1，2）内，则a-b的取值范围为

（-1，+∞）

．

Answer 1

分析：由题意知，一个根在区间（1，2）内，得关于a，b的等式，再利用线性规划的方法求出a-b的取值范围．

解答：解：由于关于x的方程ax²+bx-1=0（a，b∈R，且a＞0）
有两个实数根，其中一个根在区间（1，2）内，
令f（x）=ax²+bx-4，
则函数f（x）的图象在（1，2）内与x轴有一个交点，
故满足f（1）•f（2）＜0，
∴（a+b-1）（4a+2b-1）＜0．
画出可行域，如图阴影部分所示：
视a，b为变量，作出图象，如图所示：
令目标函数为t=a-b，
数形结合可得，当直线a-b=t过A（0，1）点时，
t=-1，
故t＞-1．
故答案为 （-1，+∞）．

点评：线性规划的介入，为研究函数的最值或最优解提供了新的方法，借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想，属于基础题．