Question

20．已知sin（π-α）-cos（π+α）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$（$\frac{π}{2}$＜α＜π）．求值：
（1）sinα-cosα；
（2）sin³（3π-α）+cos³（2π-α）．

Answer 1

分析 （1）根据角的范围，求出2sinαcosα=-$\frac{7}{9}$，继而求出sinα-cosα=$\frac{4}{3}$，
（2）根据诱导公式和立方和公式，即可求出答案．

解答 解：（1）sin（π-α）-cos（π+α）=sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，（$\frac{π}{2}$＜α＜π）．
∴sinα＞0，cosα＜0，
∵sin²α+cos²α=1，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=$\frac{2}{9}$
∴2sinαcosα=-$\frac{7}{9}$，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=1+$\frac{7}{9}$=$\frac{16}{9}$，
∴sinα-cosα=$\frac{4}{3}$，
（2）sin³（3π-α）+cos³（2π-α）=sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α+cos²α-sinαcosα）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$（1+$\frac{7}{18}$）=$\frac{25\sqrt{2}}{54}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．