Question

12．已知x₁＜x₂且函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²-x+1的极大值为f（x₁）、极小值为f（x₂），又x₁，x₂中至少有一个数在区间（1，2）内，则a-b的取值范围为（　　）

• A． （-2，+∞）
• B． （-∞，-2）
• C． （-∞，2）
• D． （-2，2）

Answer 1

分析 先求出函数f（x）的导数，结合题意，得到函数的单调性，求出x₁＜0，1＜x₂＜2，根据二次函数的性质得到不等式组，解出即可．

解答 解：由题意f′（x）=ax²+bx-1，
f′（x）=0的根为x₁，x₂，且极大值为f（x₁）、极小值为f（x₂），
∴f（x）在区间（-∞，x₁），（x₂，+∞）上单调递增，即f′（x）＞0，
f（x）在（x₁，x₂）上单调递减，即f′（x）＜0，
所以a＞0，而x₁x₂=-$\frac{1}{a}$，∴x₁＜0，1＜x₂＜2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=a+b-1＜0}\\{f′（2）=4a+2b-1＞0}\end{array}\right.$，
由a+b-1＜0得：-3a-3b＞-3①，
由4a+2b-1＞0得：4a+2b＞1②，
①+②得：a-b＞-2，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，二次函数的性质，求出x₁＜0，1＜x₂＜2是解题的关键，本题是一道中档题．