Question

（2009•泰安一模）已知双曲线x²-2y²=2的左、右两个焦点为F₁，F₂，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4．
（I）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设D（

3

2

，0），过F₂且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，若DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）因为动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4，利用椭圆定义，可知动点P的轨迹为椭圆，且该椭圆以F₁、F₂为焦点，长轴为4，从而可求椭圆方程；
（Ⅱ）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，利用向量知识，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）双曲线的方程可化为

x2

2

-y2=1，则|F₁F₂|=2

3

  
∵|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2

3

 
∴P点的轨迹E是以F₁、F₂为焦点，长轴为4的椭圆         
由a=2，c=

3

，∴b=1
∴所求方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）设l的方程为y=k(x-

3

)，则k≠0
代入椭圆方程可得（1+4k²）x²-8

3

k²x+12k²-4=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8 3 k2

1+4k2

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-2

3

）=

-2 3 k

1+4k2

∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，
∴（

DA

+

DB

）⊥

AB

∴（

DA

+

DB

）•

AB

=0
∴

8 3 k2

1+4k2

-

3

-

2 3 k2

1+4k2

=0
∴k=±

2

2

∴l的方程为y=±

2

2

(x-

3

)．

点评：本题考查双曲线的性质，考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．