Question

设f（x）=x³+bx²+cx+d，又k是一个常数，已知当k＜0或k＞4时，f（x）-k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）-k=0有三个相异实根，现给下列命题：
（1）f（x）-4=0与f'（x）=0有一个相同的实根；
（2）f（x）=0与f'（x）=0有一个相同的实根；
（3）f（x）+3=0的任一实根大于f（x）-1=0的任一实根；
（4）f（x）+5=0的任一实根小于f（x）-2=0的任一实根．其中所有正确命题是

（1）（2）（4）

．

Answer 1

分析：由已知中f（x）=x³+bx²+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）-k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）-k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，分析出函数简单的图象和性质后，逐一分析四个结论的正误，即可得到答案．

解答：解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，
当k＜0或k＞4时，f（x）-k=0只有一个实根；
当0＜k＜4时，f（x）-k=0有三个相异实根，
故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0
故f（x）-4=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极大值点，故（1）正确；
f（x）=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极小值点，故（2）正确；
f（x）+3=0有一实根小于函数最小的零点，f（x）-1=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（3）错误；
f（x）+3=0有一实根小于函数最小的零点，f（x）-2=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（4）错误；
故答案为：（1）（2）（4）

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知条件，判断出函数f（x）=x³+bx²+cx+d的图象和性质是解答本题的关键．