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已知函数f(x)=ex-a(x-1),x∈R,其中a为实数.
(1)若实数a>0,求函数f(x)在(0,+∞)上的极值.
(2)记函数g(x)f(2x),设函数y=g(x)的图象C与y轴交于P点,曲线C在P点处的切线与两坐标轴所围成的图形的面积为S(a),当a>1时,求S(a)的最小值;
(3)当x∈(0,+∞)时,不等式f(x)+f′(x)+x3-2x2≥0恒成立,求实数a的取值范围.
分析:(1)求出函数的导数,对a进行讨论,分别判断函数的单调性,最后根据a的不同取值得出的结论综合即可;
(2)g(x)=f(2x)=e2x-a(2x-1),计算出切线斜率,写出切线方程y-(1+a)=(2-2a)(x-0),求得在坐标轴上的截距,利用三角形的面积公式得到面积S(a)的表达式,最后利用基本不等式求此函数的最小值即可;
(3)利用分离参数法,借助于求函数的最值,可求实数a的取值范围.
解答:解::(1)由f'(x)=ex-a=0,得x=lna.
①当a∈(0,1]时,f'(x)=ex-a>1-a≥0(x>0).此时f(x)在(0,+∞)上单调递增.函数无极值.
②当a∈(1,+∞)时,lna>0.
x变化时f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x (0,lna) lna (lna,+∞)
f′(x) - 0 =
f(x) 单减 极小值 单增
由此可得,函数有极小值且f(x)极小=f(lna)=a-a(lna-1)=2a-alna.
(2)g(x)=f(2x)=e2x-a(2x-1),g(0)=1+a
切线斜率为k=g'(0)=2-2a,切线方程y-(1+a)=(2-2a)(x-0),
由x=0,y=1+a,由y=0,x=
a+1
2(a-1)

∴S(a)=
1
2
×(a+1)
×
a+1
2(a-1)
=
1
4
[(a-1)+
4
a-1
+4]≥2
当且仅当(a-1)2=4,即a=3时取等号.∴当a=3时,S(a)最小值为2.
(3)由已知不等式即为:2ex+x3-2x2≥ax,
∴a≤
2ex
x
+x2-2x

令u(x)=
2ex
x
+x2-2x
,则u′(x)=
2(x-1)(ex+2)
x2

∴x∈(0,1)时,u′(x)<0,x∈(1,+∞)时,u′(x)>0
∴u(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增
∴x=1时,u(x)的最小值为2e-1
∴a≤2e-1.
点评:本题考查利用导数研究函数的极值,考查基本不等式的运用,考查分离参数法.解答关键是要对函数求导,做题时要注意对a进行讨论,最后得出函数的极值和单调区间.
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