Question

【题目】设函数φ（x）=a2x﹣ax（a＞0，a≠1）．
（1）求函数φ（x）在[﹣2，2]上的最大值；
（2）当a= 时，φ（x）≤t2﹣2mt+2对所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵φ（x）=a2x﹣ax=（ax﹣ ）2﹣ （a＞0，a≠1），x∈[﹣2，2]，

∴当a＞1时，φmax（x）=φ（2）=a4﹣a2；

当0＜a＜1时，φmax（x）=φ（﹣2）=a﹣4﹣a﹣2；

∴φmax（x）= ．

（2）解：当a= 时，φ（x）=2x﹣（ ）x，

由（1）知，φmax（x）=φ（2）=（ ）4﹣（ ）2=4﹣2=2，

∴φ（x）≤t2﹣2mt+2对所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立

m∈[﹣1，1]，t2﹣2mt+2≥φmax（x）=2恒成立，即m∈[﹣1，1]，t2﹣2mt≥0恒成立，

令g（m）=﹣2tm+t2，则 ，即 ，解得：t≥2或t≤﹣2，或t=0．

∴实数m的取值范围为：（﹣∞，2]∪{0}∪[2，+∞）．

【解析】（1）利用指数函数的单调性，分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论，即可求得函数φ（x）在[﹣2，2]上的最大值；（2）当a= 时，φ（x）≤t2﹣2mt+2对所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立m∈[﹣1，1]，t2﹣2mt+2≥φmax（x）=2恒成立，构造函数g（m）=﹣2tm+t2，则 ，解之即可得到实数m的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．