Question

【题目】已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a2+3a）ex（x∈R），其中a∈R．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当 时，求函数f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=0时，f（x）=x2ex，f'（x）=（x2+2x）ex，故f'（1）=3e，

所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e，f（1）=e，

所以该切线方程为y﹣e=3e（x﹣1），

整理得：3ex﹣y﹣2e=0．

（2）解：解：f'（x）=[x2+（a+2）x﹣2a2+4a]ex

令f'（x）=0，解得x=﹣2a，或x=a﹣2．由 知，﹣2a≠a﹣2．

以下分两种情况讨论．①若a＞ ，则﹣2a＜a﹣2．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，a﹣2）	﹣2a	（﹣2a，a﹣2）	a﹣2	（a﹣2，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
F（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以f（x）在（﹣∞，﹣2a），（a﹣2，+∞）内是增函数，在（﹣2a，a﹣2）内是减函数．

函数f（x）在x=﹣2a处取得极大值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．函数f（x）在x=a﹣2处取得极小值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）ea﹣2．②若a＜ ，则﹣2a＞a﹣2，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，a﹣2）	a﹣2	（a﹣2，﹣2a）	﹣2a	（﹣2a，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
F（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以f（x）在（﹣∞，a﹣2），（﹣2a，+∞）内是增函数，在（a﹣2，﹣2a）内是减函数

函数f（x）在x=a﹣2处取得极大值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）ea﹣2，

函数f（x）在x=﹣2a处取得极小值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．

【解析】（1）把a=0代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（1，f（1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；（2）令f'（x）=0求出x的值为x=﹣2a和x=a﹣2，分两种情况讨论：①当﹣2a＜a﹣2时和②当﹣2a＞a﹣2时，讨论f'（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最值．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．