Question

已知函数f（x）=

3

sinωx-2sin²

ωx

2

（ω＞0）的最小正周期为3π．在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可得到结论．

解答： 解：f （x）=

3

sin（ωx）-2•

1-cos(ωx)

2

=

3

sin（ωx）+cos（ωx）-1=2sin（ωx+

π

6

）-1…（2分）
依题意函数f（x）的最小正周期为3π，即

2π

ω

=3π，解得ω=

2

3

，所以f（x）=2sin（

2

3

x+

π

6

）-1．…（4分）
由f（C）=2sin（

2C

3

+

π

6

）-1及f（C）=1，得sin（

2C

3

+

π

6

）=1，…（6分）
∵0＜C＜π，∴

π

6

＜

2C

3

+

π

6

＜

5π

6

，
∴

2C

3

+

π

6

=

π

2

，解得C=

π

2

，…（8分）
在Rt△ABC中，∵A+B=

π

2

，2sin²B=cosB+cos（A-C），
∴2cos²A-sinA-sinA=0，
∴sin²A+sinA-1=0，解得sinA=

-1± 5

2

，…（11分）
∵0＜sinA＜1，
∴sinA=

5 -1

2

 …（12分）

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简，根据周期公式求出函数的解析式是解决本题的关键．