Question

18．设向量$\overrightarrow{a}$=（1，4cosx），b=（4$\sqrt{3}$sinx，1），x∈R．
（1）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线，求sin2x；
（2）设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，且f（x）在[0，π]上的值域为[tanα，tanβ]，求tan（2α+β）．

Answer 1

分析 （1）根据条件及向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$共线及二倍角的正弦公式便可得到$8\sqrt{3}sin2x=1$，从而可求出sin2x的值；
（2）进行向量数量积的坐标运算得出$f（x）=4\sqrt{3}sinx+4cosx$，这样由两角和的正弦公式即可得到$f（x）=8sin（x+\frac{π}{6}）$，从而可求出函数f（x）在[0，π]上的值域，进而便可得出tanα，tanβ的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$共线；
∴$1-4\sqrt{3}sinx•4cosx=0$；
∴$8\sqrt{3}sin2x=1$；
∴$sin2x=\frac{1}{8\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{24}$；
（2）f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=4\sqrt{3}sinx+4cosx=8sin（x+\frac{π}{6}）$；
∵x∈[0，π]；
∴x+$\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$；
∴$sin（x+\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$；
∴f（x）∈[-4，8]；
∴tanα=-4，tanβ=8；
∴$tan2α=\frac{8}{15}$；
∴$tan（2α+β）=\frac{tan2α+tanβ}{1-tan2αtanβ}$=$\frac{\frac{8}{15}+8}{1-\frac{64}{15}}=-\frac{128}{49}$．

点评 考查向量平行时的坐标关系，向量数量积的坐标运算，二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式，以及正弦函数的图象，二倍角的正切公式，两角和的正切公式．