设函数.
(1)若,试求函数
的单调区间;
(2)过坐标原点作曲线
的切线,证明:切点的横坐标为1;
(3)令,若函数
在区间(0,1]上是减函数,求
的取值范围.
(1)的减区间为
,增区间
(2)导数的几何意义的运用,理解切线的斜率即为该点的导数值既可以得到求证。
(3)
【解析】
试题分析:解: (1)时,
1
分
3分
的减区间为
,增区间
5分
(2)设切点为,
切线的斜率,又切线过原点
7分
满足方程
,由
图像可知
有唯一解,切点的横坐标为1;
-8分
或者设,
,且
,方程
有唯一解 -9分
(3),若函数
在区间(0,1]上是减函数,
则,所以
---(*) 10分
若,则
在
递减,
即不等式恒成立
11分
若,
在
上递增,
,即
,
上递增,
这与,
矛盾
13分
综上所述,
14分
解法二: ,若函数
在区间(0,1]上是减函数,
则,所以
10分
显然,不等式成立
当时,
恒成立
11分
设
设
在
上递增,
所以
12分
在
上递减,
所以 14分
考点:导数的运用
点评:主要是考查了导数在研究函数中的运用,属于中档题。
科目:高中数学 来源: 题型:
设函数.
(1)若时函数
有三个互不相同的零点,求
的取值范围;
(2)若函数在
内没有极值点,求
的取值范围;
(3)若对任意的,不等式
在
上恒成立,求实数
的取值范围.
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