Question

定义F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞），
（1）令函数f（x）=F（1，log₂（x²-4x+9））的图象为曲线C₁，曲线C₁与y轴交于点A（0，m），过坐标原点O作曲线C₁的切线，切点为B（n，t）（n＞0），设曲线C₁在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值．
（2）当x，y∈^N*且x＜y时，证明F（x，y）＞F（y，x）；
（3）令函数g（x）=F（1，log₂（x³+ax²+bx+1））的图象为曲线C₂，若存在实数b使得曲线C₂在x₀（-4＜x₀＜-1）处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把函数f（x）=F（1，log₂（x²-4x+9））代入已知的新定义，根据对数的运算法则化简，得到f（x）的解析式，把x=0代入f（x）的解析式即可求出m的值，求出f（x）的导函数，把x=n代入导函数求出的导函数值即为切线的斜率，然后用切点坐标表示出斜率，两者相等列出n与t的关系式，把切点坐标代入f（x）得到另一个关于n与t的关系式，两者联立即可求出n与t的值，确定出点B的坐标，然后利用定积分的方法即可求出曲线C₁在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S；
（2）令函数h（x）=

ln(1+x)

x

，求出h（x）的导函数，由分母大于0，令分子等于p（x），求出p（x）的导函数，根据p（x）导函数的正负，判断p（x）的增减性，进而得到p（x）小于0，且得到h（x）导函数的正负，得到h（x）的增减性，利用函数的增减性即可得证；
（3）利用题中的定义确定出g（x）的解析式，求出g（x）的导函数，把x=x₀代入导函数求出的导函数值即为-8，列出一个关系式，记作①，把-4＜x₀＜-1记作②，由log₂（x³+ax²+bx+1）大于0，把x=x₀代入得到一个不等式，记作③，由①解出b，代入③得到一个不等式与②联立，把②中的两个端点代入不等式中即可得到a的取值范围．

解答：解：（1）∵F（x，y）=（1+x）^y，
∴f(x)=F(1，log2(x2-4x+9))=2log2(x2-4x-9)=x2-4x+9，
故A（0，9），
又过坐标原点O向曲线C₁作切线，切点为B（n，t）（n＞0），f'（x）=2x-4．
∴

t=n2-4n+9 t n =2n-4

，解得B(3，6)，
∴S=

∫

3 0

(x2-4x+9-2x)dx=(

x3

3

-3x2+9x)

|

3 0

=9；
（2）令h(x)=

ln(1+x)

x

，x≥1，由h′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，
又令p(x)=

x

1+x

-ln(1+x)，x＞0，
∴p′(x)=

1

(1+x)2

-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

＜0，∴p（x）在[0，+∞）单调递减．
∴当x＞0时有p（x）＜p（0）=0，∴当x≥1时有h'（x）＜0，∴h（x）在[1，+∞）单调递减，
∴1≤x＜y时，有

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

，
∴yln（1+x）＞xln（1+y），
∴（1+x）^y＞（1+y）^x，
∴当x，y∈N^*且x＜y时F（x，y）＞F（y，x）．
（3）g（x）=F（1，log₂（x²+ax²+bx+1））=x³+ax²+bx+1，
设曲线C₂在x₀（-4＜x＜-1）处有斜率为-8的切线，
又由题设log₂（x³+ax²+bx+1）＞0，g'（x）=3x²+2ax+b，
∴存在实数b使得

3 x 2 0 +2ax0+b=-8① -4＜x0＜-1② x 3 0 +a x 2 0 +bx0+1＞1③

有解，
由①得b=-8-3x₀²-2ax₀，代入③得-2x₀²-ax₀-8＜0，
∴由

2 x 2 0 +ax0+8＞0 -4＜x0＜-1

有解，
得2×（-4）²+a×（-4）+8＞0或2×（-1）²+a×（-1）+8＞0，
∴a＜10或a＜10，
综上，实数a的取值范围为a＜10．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用定积分求曲线围成的面积，会根据导函数的正负确定函数的单调性，是一道中档题．