Question

已知P={x|x²-8x-20≤0}，Q={x||x-1|≤m}，m∈R．
（1）若P∪Q=P，求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得方程|x-1|=m至少有一个解x满足“x∈P”？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件，解一元二次不等式求得集合P，解绝对值不等式求得集合Q，根据P∪Q=P，可得Q⊆P，列出关于m的不等式组，解此不等式组即可求得结果，注意对空集的讨论；
（2）使得方程|x-1|=m至少有一个解x满足“x∈P”，即求方程|x-1|=m在区间[-2，10]上至少有一个实数解，转化为求函数y=|x-1|的值域，x∈[-2，10]，即可求得结果．

解答：解：P={x|x²-8x-20≤0}=[-2，10]，Q={x||x-1|≤m}=[1-m，1+m]，
（1）∵P∪Q=P，则Q⊆P
①当Q=∅时，则m＜0；
②当Q≠∅时，则

m≥0 1-m≥-2 1+m≤10

，解得0≤m≤3，
综合①②得m≤3；
（2）由方程|x-1|=m有解知：m≥0．
要使方程|x-1|=m的至少有一个解x满足“x∈P”，即|x-1|=m在区间[-2，10]上至少有一个实数解，
只需m≤9．
故m的取值范围为0≤m≤9．

点评：本题考查一元二次不等式的解法和绝对值不等式的解法，由P∪Q=P?Q⊆P，以及对∅的讨论是解问题（1）的关键；问题（2）的题意的理解和转化是解此题的关键，属中档题．