Question

已知数列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=a_n•q+qⁿ⁺¹（q＞0），b_n=a_n+2ⁿ，n=1，2，3，…．
（I）求证数列{

an

qn

}是等差数列；
（II）试比较b₁b₃与b₂²的大小；
（III）求正整数k，使得对于任意的正整数n，

bk

bk+1

≤

bn

bn+1

恒成立．

Answer 1

分析：（I）由a_n+1=a_n•q+qⁿ⁺¹（q＞0）两边同除以qⁿ⁺¹构造

an

qn

，再由等差数列的定义证明．
（II）由b_n=a_n+2ⁿ及（I）求得b₁=2，b₂=q²+4，b₃=2q³+8，再构建b₁b₃与b₂²作差比较．
（III从k=1入手构建

bn

bn+1

-

b1

b2

=

b2bn-b1bn+1

b2bn+1

，进行探究．

解答：解：（I）∵a_n+1=a_n•q+qⁿ⁺¹（q＞0）
∴

an+1

qn+1

=

an•q+qn+1

qn+1

=

an

qn

+1，又

a1

q

=0，
即数列{

an

qn

}是以0为首项，1为公差的等差数列（3分）
且

an

qn

=n-1，a_n=（n-1）qⁿ（n=1，2，3）
（II）b_n=a_n+2ⁿ=（n-1）qⁿ+2ⁿ（4分）
∴b₁=2，b₂=q²+4，b₃=2q³+8（5分）
∴b₂²-b₁b₃=（q²+4）²-2（2q³+8）=（q⁴+8q²+16）-4q³-16=q⁴-4q³+8q²=q²（q²-4q+8）=q²[（q-2）²+4]＞0
∴b₂²＞b₁b₃（8分）

（III）∵b_n=（n-1）qⁿ+2ⁿ，n=1，2，3，…，∴b_n＞0
b₁=2，b₂=q²+4，b_n+1=nqⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹

bn

bn+1

-

b1

b2

=

b2bn-b1bn+1

b2bn+1

又b₂b_n-b₁b_n+1=（q²+4）[（n-1）qⁿ+2ⁿ]-2（nqⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹）
=[（q²+4）（n-1）-2nq]qⁿ+q²•2ⁿ
①当n=1时，b₂b_n-b₁b_n+1=0，即

b1

b2

=

bn

bn+1

②当n≥2时，∵q＞0，q²+4≥2•q•2=4q
∴（q²+4）（n-1）-2nq≥4（n-1）q-2nq=2（n-2）q≥0又q²•2ⁿ＞0
∴b₂b_n-b₁b_n+1＞0
由①②得

bn

bn+1

-

b1

b2

=

b2bn- b1bn+1

b2bn+1

≥0，即对于任意的正整数n，

b1

b2

≤

bn

bn+1

恒成立
故所求的正整数k=1．

点评：本题主要考查构造数列以及不等式和恒成立问题在数列中的应用．