Question

已知定义在R上的函数y=f（x）的图象是一条不间断的曲线，f（a）≠f（b），其中a＜b，设F（x）=f（x）-

f(a)+f(b)

2

，求证：函数F（x）在（a，b）上有零点．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：由题意可判断F（x）在R上的图象是一条不间断的曲线，再利用函数零点的判定定理判定即可．

解答： 证明：∵定义在R上的函数y=f（x）的图象是一条不间断的曲线，
∴F（x）在R上的图象是一条不间断的曲线，
又∵F（a）F（b）=（f（a）-

f(a)+f(b)

2

）（f（b）-

f(a)+f(b)

2

）
=

f(a)-f(b)

2

•

f(b)-f(a)

2

=-（

f(a)-f(b)

2

）²＜0；
∴函数F（x）在（a，b）上有零点．

点评：本题考查了函数零点的判定定理的应用，属于基础题．