Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设 （α，β∈R），则α+β的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（1, ）
【解析】解：以AB为x轴，以AD为y轴，建立坐标系，

∵在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3

∴A（0，0），D（0，1），B（3，0），C（1，1）

∴直线BD的方程为：y=﹣ x+1，即x+3y﹣3=0，

C（1，1）点到直线的距离为：

∴以点C为圆心，且与直线BD相切的圆的方程为：

（x﹣1）2+（y﹣1）2= ，x=1+ cosθ，y=1+ sinθ

设P（x，y）则：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤ ，

∵ ，（α，β∈R），

∴（x，y）=（3β，α）

∴α+β=y+ =1+ sinθ + （1+ cosθ）= + cosθ+ sinθ= + sin（θ+λ）

∵﹣ ＜ sin（θ+λ） ，

1＜ + sin（θ+λ）＜ ，

∴α+β的取值范围是（1， ）

所以答案是：