Question

20．已知函数f（x）=x-alnx．
（Ⅰ）当a=3时，判断函数f（x）零点的个数；
（Ⅱ）设函数g（x）=$\frac{1-a}{2}$x²-f（x）且a＜1，试确定g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的极小值，从而求出函数的零点的个数即可；
（Ⅱ）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的递增区间即可．

解答 解：（Ⅰ）a=3时，f（x）=x-3lnx，f′（x）=1-$\frac{3}{x}$，
0＜x＜3时，f′（x）＜0，x＞3时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，3）递减，在（3，+∞）递增，
∴f（x）_极小值=f（3）=3-3ln3＜0，
又f（1）=1＞0，f（e²）=e²-6＞0，f（1）f（3）＜0，f（3）f（e²）＜0，
∴f（x）在（1，3），（3，e²）各有1个零点，f（x）的零点个数是2；
（Ⅱ）g（x）=$\frac{1-a}{2}$x²-x+alnx，
g′（x）=$\frac{（1-a）（x-1）（x-\frac{a}{1-a}）}{x}$，
∵a＜1，x＞0，∴当$\frac{a}{1-a}$＜1即a＜$\frac{1}{2}$时，
由g′（x）＞0，解得：x＞1或0＜x＜$\frac{a}{1-a}$，
当$\frac{a}{1-a}$=1即a=$\frac{1}{2}$时，g′（x）≥0，
当$\frac{a}{1-a}$＞1即$\frac{1}{2}$＜a＜1时，由g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{a}{1-a}$或x＜1，
∴a＜$\frac{1}{2}$时，g（x）在（0，$\frac{a}{1-a}$），（1，+∞）递增，
a=$\frac{1}{2}$时，g（x）在（0，+∞）递增，
$\frac{1}{2}$＜a＜1时，g（x）在（0，1），（$\frac{a}{1-a}$，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．