Question

（2011•佛山二模）已知平面直角坐标系上的三点A（0，1），B（-2，0），C（cosθ，sinθ）（θ∈（0，π）），且

BA

与

OC

共线．
（1）求tanθ；
（2）求sin(2θ-

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）由A，B及C的坐标，表示出

BA

与

OC

的坐标，根据两向量共线时满足的条件列出关系式，整理后利用同角三角函数间的基本关系弦化切，即可求出tanθ的值；
（2）由tanθ的值大于0及θ的范围，得到θ为锐角，利用同角三角函数间的基本关系列出关于sinθ和cosθ方程组，求出方程组的解得到sinθ和cosθ的值，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式分别表示出sin2θ和cos2θ，将求出的sinθ和cosθ的值代入求出sin2θ和cos2θ的值，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简所求的式子后，将sin2θ和cos2θ的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵A（0，1），B（-2，0），C（cosθ，sinθ），
∴

BA

=（2，1），

OC

=（cosθ，sinθ），
∵

BA

与

OC

共线，
∴

2

cosθ

=

1

sinθ

，即2sinθ-cosθ=0，
则tanθ=

1

2

；
（2）∵tanθ=

1

2

＞0，θ∈（0，π），
∴θ∈（0，

π

2

），
由

tanθ= sinθ cosθ = 1 2 sin2θ+cos2θ=1

，得sinθ=

5

5

，cosθ=

2 5

5

，
∴sin2θ=2sinθcosθ=2×

5

5

×

2 5

5

=

4

5

；cos2θ=cos²θ-sin²θ=（

2 5

5

）²-（

5

5

）²=

3

5

，
则sin（2θ-

π

4

）=sin2θcos

π

4

-cos2θsin

π

4

=

4

5

×

2

2

-

3

5

×

2

2

=

2

10

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，共线向量的坐标表示，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．