Question

15．已知函数f（x）=x|x-a|，g（x）=-2x+3，若存在不相等的实数x₁，x₂，f（x₁）-f（x₂）=g（x₁）-g（x₂），则实数a的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得f（x₁）-g（x₁）=f（x₂）-g（x₂），设函数h（x）=f（x）-g（x）=x|x-a|-（3-2x），由题意可得h（x）为不单调函数，考虑h（x）为单调函数，且为增函数，即可得到所求a的范围．

解答 解：存在不相等的实数x₁，x₂，f（x₁）-f（x₂）=g（x₁）-g（x₂），
即有f（x₁）-g（x₁）=f（x₂）-g（x₂），
设函数h（x）=f（x）-g（x）=x|x-a|-（3-2x），
由题意可得h（x）为不单调函数，
若h（x）为单调函数，且为递增函数，
由h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2-a）x-3，x≥a}\\{{-x}^{2}+（2+a）x-3，x＜a}\end{array}\right.$，
可得a≥$\frac{a-2}{2}$，且a≤$\frac{a+2}{2}$，
解得-2≤a≤2，
则有a＞2或a＜-2时，函数h（x）不单调．
故答案为：（-∞，-2）∪（2，+∞）．

点评 本题考查函数的单调性的运用，考查二次函数的单调性的判断，注意对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．