Question

已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（1）求椭圆方程；
（2）求m的取值范围．

Answer 1

（1）（2）所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）

【解题思路】通过，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式。
（1）由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设
由条件知且，又有，解得
故椭圆的离心率为，其标准方程为： 
（2）设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0
Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*）
x₁＋x₂＝，x₁x₂＝　
∵＝3∴－x₁＝3x₂∴
消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，∴3（）²＋4＝0
整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　 
m²＝时，上式不成立；m²≠时，k²＝，
因λ＝3 ∴k≠0 ∴k²＝>0，∴－1<m<－ 或<m<1
容易验证k²>2m²－2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）   
【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能