Question

三棱锥P—ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.

(1)求证:AB⊥BC；

(2)设AB=BC=，求AC与平面PBC所成角的大小.

Answer 1

(1)证明:如下图，取AC的中点D，连结PD、BD.

因为PA=PC，所以PD⊥AC.

又已知面PAC⊥面ABC，所以PD⊥面ABC，D为垂足.

因为PA=PB=PC，

所以DA=DB=DC.

可知AC为△ABC的外接圆直径，因此AB⊥BC.

(2)解:如下图，作CF⊥PB于F，连结AF、DF.

因为△PBC≌△PBA，

所以AF⊥FB，AF=CF.

因此PB⊥平面AFC，所以面AFC⊥面PBC，交线是CF.

因此直线AC在平面PBC内的射影为直线CF，∠ACF为AC与平面PBC所成的角.

在Rt△ABC中，AB=BC=，所以BD=.

在Rt△PDC中，DC=，PD=.

在Rt△PDB中，DF=.

在Rt△FDC中，tan∠ACF=.

所以∠ACF=30°,即AC与平面PBC所成的角为30°.