练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2012•徐汇区一模）对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数C，使得对任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且对任意的x∉[a，b]都有f（x）＞C恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“U型”函数．
    （1）求证：函数f（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函数；
    （2）设f（x）是（1）中的“U型”函数，若不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切的x∈R恒成立，求实数t的取值范围；
    （3）若函数g（x）=mx+
    		x2+2x+n
    是区间[-2，+∞）上的“U型”函数，求实数m和n的值．
    分析：（1）对于函数f1（x）=|x-1|+|x-3|，欲判断其是否是“U型”函数，只须f1（x）＞=2是否恒成立，利用去绝对值符号后即可证得；
    （2）不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切x∈R恒成立，等价于|t-1|+|t-2|≤f（x）min，等价于|t-1|+|t-2|≤2，从而可求实数t的取值范围；
    （3）函数g（x）=mx+
    		x2+2x+n
    是区间[-2，+∞）上的“U型”函数，等价于x2+2x+n=m2x2-2cmx+c2对任意的x∈[a，b]成立，利用恒等关系，可得到关于m，n，c的方程，解出它们的值，最后通过验证g（x）是区间[-2，+∞）上的“U型”函数即可解决问题．
    解答：解：（1）当x∈[1，3]时，f1（x）=x-1+3-x=2，
    当x∉[1，3]时，f1（x）=|x-1|+|x-3|＞|x-1+3-x|=2
    故存在闭区间[a，b]=[1，3]⊆R和常数C=2符合条件，…（4分）
    所以函数f1（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函数…（5分）
    （2）因为不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切x∈R恒成立，
    所以|t-1|+|t-2|≤f（x）min…（7分）
    由（1）可知f（x）min=（|x-1|+|x-3|）min=2…（8分）
    所以|t-1|+|t-2|≤2…（9分）
    解得：
    1
    2
    ≤t≤
    5
    2
    …（11分）
    （3）由“U型”函数定义知，存在闭区间[a，b]⊆[-2，+∞）和常数c，使得对任意的x∈[a，b]，
    都有g（x）=mx+
    		x2+2x+n
    =c，即
    		x2+2x+n
    =c-mx
    所以x2+2x+n=（c-mx）2恒成立，即x2+2x+n=m2x2-2cmx+c2对任意的x∈[a，b]成立…（13分）
    所以
    m2=1
    -2cm=2
    c2=n
    ，所以
    m=1
    c=-1
    n=1
    或
    m=-1
    c=1
    n=1
    …（14分）
    ①当
    m=1
    c=-1
    n=1
    时，g（x）=x+|x+1|．
    当x∈[-2，-1]时，g（x）=-1，当x∈（-1，+∞）时，g（x）=2x+1＞-1恒成立．
    此时，g（x）是区间[-2，+∞）上的“U型”函数…（16分）
    ②当
    m=-1
    c=1
    n=1
    时，g（x）=-x+|x+1|．
    当x∈[-2，-1]时，g（x）=-2x-1≥1，当x∈（-1，+∞）时，g（x）=1．
    此时，g（x）不是区间[-2，+∞）上的“U型”函数．（12分）
    综上分析，m=1，n=1为所求…（18分）
    点评：本题考查新定义，考查函数恒成立问题，考查函数的最值，解题的关键是利用恒成立结论等式，从而可得参数的值，属于难题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•徐汇区一模）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是
    1
    5
    1
    5
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•徐汇区一模）已知cos(π+θ)=
    4
    5
    ，则cos2θ=
    7
    25
    7
    25
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•徐汇区一模）已知各项为正数的等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am、an使得
    		am•an
    =2
    		2
    a1    ，则
    1
    m
    +
    4
    n
    的最小值为
    11
    6
    11
    6
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•徐汇区一模）由9个正数组成的矩阵
    a11a12a13
    a21a22a23
    a31a32a33
    中，每行中的三个数成等差数列，且a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列，给出下列判断：①第2列a12，a22，a32必成等比数列；②第1列a11，a21，a31不一定成等比数列；③a12+a32≥a21+a23；④若9个数之和等于9，则a22≥1．其中正确的个数有（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•徐汇区一模）若(x+
    12x
    )    n    的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中x4项的系数为
    7
    7
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案